Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики / Пер. с англ. и франц. выполнен в редакции журнала "Регулярная и хаотическая динамика" (А.В. Борисов, Ю.А.Данилов, А. В. Летчиков, И.С. Мамаев). — Ижевск, 1999. — 282 с.

 

Предисловие к английскому изданию

Основная задача механики заключается в вычислении или качественном изучении эволюции динамической системы с заданными начальными условиями.

Численные методы позволяют вычислять траектории на конечных временных интервалах, но неприменимы при бесконечном увеличении времени. Задача трех тел дает типичный пример: существуют ли произвольно малые возмущения начальных данных, при которых одно из тел уходит на бесконечность? На математическом языке задача заключается в исследовании траекторий векторного поля в фазовом пространстве. Будучи далеко не решенной, данная проблема включает в себя различные области научного знания от теории вероятностей и топологии до теории чисел и дифференциальной геометрии. Никола Бурбаки наверняка простит нас за смешивание такого количества областей.

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория. Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П. Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки па пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Адамаром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны, Синай доказал, что модель Больцмана Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает «эргодическую гипотезу».

Эта книга ни в коей мере не является законченным трудом по эргодической теории, а ссылки — вполне исчерпывающими.

Представленная в этой книге работа основана на лекциях, прочитанных одним из авторов весной-осенью 1965 года, который также написал главу 4. Второй автор был ответственен за доказательства в главах 1,2 и 3.

Мы выражаем благодарность профессорам Шоке-Брюа, X. Кабаннису и П.Герману, Дж. Ковалевскому, Дж. Рибу, Л.Шварцу, Р.Тому и М. Церперу, которые высоко оцепили эти лекции. Также мы благодарим профессора С. Мандельбройта, который предложил написать эту книгу. Конечный вариант рукописи был просмотрен Я. Синаем, который предложил внести некоторые важные изменения, за что мы ему искренне благодарны.