Арнольд В.И., Козлов В.В., Непштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. — М.: ВИНИТИ, 1985. — 304 с.

 

В этой работе описаны основные принципы, задачи и методы классической механики. Основное внимание уделено математической стороне предмета. Хотя физическая основа рассматриваемых моделей, а также прикладные аспекты изучаемых явлений затронуты в значительно меньшей степени, авторы стремились изложить в первую очередь «рабочий» аппарат классической механики. Этот аппарат содержится,   в основном, в   главах 1, 3, 4 и 5.

Глава  1  посвящена    основным    математическим    моделям классической механики, которые обычно используются для описания движения реальных механических систем. Особое внимание уделено изучению движения со связями, а также вопросам реализации связей в динамике.

В главе 3 обсуждаются группы симметрии механических систем и отвечающие им законы сохранения.

Глава 4 содержит краткий обзор различных подходов к проблеме интегрируемости уравнений движения и некоторые наиболее общие и эффективные методы их интегрирования. Указаны разнообразные примеры проинтегрированных задач, составляющих «золотой фонд» классической динамики. Материал этой главы используется в главе 5, посвященной одному из наиболее результативных разделов механики — теории возмущений. Основная задача теории возмущений — исследование задач механики, мало отличающихся от задач, точно проинтегрированных. Элементы этой теории (в частности, широко известный и применяемый «принцип усреднения») возникли в небесной механике в связи с попытками учесть взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы. К главам 4 и 5 примыкает глава 6, в которой исследована принципиальная возможность интегрирования уравнений движения (в точно определенном смысле). Оказывается, интегрируемые системы являются редким исключением, и это обстоятельство повышает роль приближенных методов интегрирования, изложенных в главе 5. Классическим вопросам небесной механики посвящена вторая глава. В ней рассмотрена интегрируемая задача 2-х тел, классификация финальных движений задачи 3-х тел, содержится анализ столкновений и вопросы регуляризации в общей задаче n гравитирующих точек, различные предельные варианты этой задачи. С точки зрения теории возмущений задача n тел обсуждается в главе 5; основное внимание уделено проблеме устойчивости Солнечной системы. Элементы теории колебаний механических систем изложены в главе 7.

Наш текст, конечно, не претендует на полноту. Он также не является учебным пособием по теоретической механике: в нем практически отсутствуют подробные доказательства. Основное назначение нашей работы — познакомить читателя с классической механикой в целом — как с классическими, так и с самыми современными ее аспектами. Необходимые доказательства, а также более подробные сведения читатель найдет в книгах и оригинальных работах по этому предмету, указанных в конце данного тома.

Из предисловия