Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1978. — 456 с.

 

Эта книга — третья в задуманной мною серии учебных пособий по основным вопросам небесной механики — является продолжением двух предыдущих.

Как показывает подзаголовок, книга посвящена изложению основ аналитических и качественных методов науки о движении небесных тел, а поэтому, прежде всего, следует установить, что под этим подразумевается.

В предыдущей книге было показано, что задачи небесной механики приводятся к рассмотрению систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые, однако, в конечном виде большей частью не интегрируются. Вследствие этого приходится прибегать к различным приближенным способам интегрирования, к которым относятся и различные приемы численного интегрирования, и методы последовательных приближений, и применение бесконечных рядов того или иного вида.

Под аналитическими методами мы будем разуметь способы и приемы, дающие возможность найти общее или частное решение предложенной системы дифференциальных уравнений в виде бесконечных сходящихся рядов, позволяющих находить числовые значения интересующих нас величин с любой степенью точности.

Однако из рассмотрения бесконечных рядов вообще затруднительно или даже невозможно вывести общие свойства движения, что заставило в конце прошлого столетия А. М. Ляпунова и почти одновременно А. Пуанкаре изобрести и разработать новые методы, которые Пуанкаре назвал качественными.

Теперь под качественными методами дифференциальных уравнений понимают все способы и приемы, позволяющие установить свойства функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, не зная общего решения этих уравнений и не используя  бесконечные  ряды.  В  применении  к небесной механике качественные методы теории дифференциальных уравнений позволяют определить общие свойства движений небесных тел, а аналитические методы дают возможность получить формулы, позволяющие определять положения и скорости движущихся тел для любого момента времени.

Обычно при решении конкретных задач о движении небесных тел (естественных и искусственных) приходится сочетать оба направления — аналитическое и качественное, — проверяя справедливость аналитических формул качественным путем или получая качественные результаты при помощи аналитических приемов.

В результате такого сочетания можно построить строгую математическую теорию движения, практическую удовлетворительность которой можно установить сравнением с наблюдениями, с одной стороны, и сравнением с результатами численного интегрирования — с другой.

Настоящая книга не претендует на полное изложение всех вопросов качественной и аналитической небесной механики, но имеет своей целью дать некоторое, первоначальное, представление об этой области науки.

Книга разделена на три части. Первая часть «Общие методы» содержит изложение основных результатов теории устойчивости движения, созданной А. М. Ляпуновым, и теории периодических решений, разработанной А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре.

Вторая часть «Ограниченные задачи» заключает в себе изложение некоторых основных результатов, касающихся ограниченной задачи трех тел, причем главное внимание обращено здесь на вопросы устойчивости частных решений рассматриваемых задач и связанные с последними вопросы существования и нахождения периодических решений.

Третья часть «Неограниченные задачи» посвящена в основном  изложению важнейших результатов в проблеме трех тел.

Здесь рассматриваются частные решения общей задачи трех тел, приводятся теоремы Брунса и Пуанкаре о несуществовании алгебраических и однозначных трансцендентных интегралов задачи трех тел, кроме десяти классических, и излагаются исследования Зундмана, дающие общее математическое решение задачи трех тел.

 

Предисловие автора